暇つぶしに魔方陣の証明を考えた。
　３×３のＡ～Ｉのマスに１～９を一回ずつ入れて、縦・横・斜めの３マスの和が全て等しくするにはどのように数字を配置すればよいか。

　まず３マスの和のラインは８本。縦に３本。横に３本。斜めに２本。
　で、このラインを全部足すと、

　2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+(a+c+g+i)+2e

と表せる。

　「Ａ～Ｉ」を足した数は45でかつ、「(a+c+g+i)+2e」は斜めの２ライン分なので、「2(a+b+c+d+e+f+g+h+i)」は残りの６ライン分の足した数と等しい。よって
90=6ライン
なので、１ラインあたりの和は15になる。


　次にＥの数字を求めるためにＥのラインだけ考えると、

a+b+c+d+f+g+h+i+4e = 60

これはつまり

(a+b+c+d+e+f+g+h+i)+3e　= 60
3e=15　∴e=5

となる。


　真ん中のＥは５であることがわかった。次は、他の数字の位置である。Ｅが５であることから、Ｅの両端の数字の合計は１０であり、また外周の縦と横のラインの和も１５にする必要がある。

　ここで「９」はどこに入るかを考える。9+x+y=15にするにはx+y=6の組み合わせを見つける必要がある。
　総当りから、（1,5)と(2,4)の2種類しかない。隅の場合は組み合わせが３種類必要。よって、「９」は四辺のうちのどれかになる。しかし、点対称などを考えると辺ならどこでもいいことになる。とりあえず「５」の左に「９」を置くことにする。すると対辺に「１」を置くことになる。
　「１」が含むラインで合計が１５になる他の「x+y」の組み合わせは(6,8)しかない。よって、「１」の上下の隅は「６」と「８」しかありえない。線対称によりどちらでも良いが、ここでは上に「６」、下に「８」を置く。
　残りは、隅に「６」と「８」がきたので対角の数字は５が間に挟まっていることから、「４」と「２」。そして残りの辺に上が「７」、下に「３」が入る。

２７６
９５１
４３８

となる。

　また対称を考えなければ最初の９の位置が東西南北の４通り。６or８の位置が２通りの計８通りしかないこともわかる。


　知識としては知っていても、シンプルに「真ん中は５」を出すのが難しかった。