問題
△ABCの3辺に点DEFをとり
△DEFを作ります
この時△DEFの3辺の長さが
最少になる3点DEFを
作図しなさい。
(一応条件として鋭角三角形)
：3つの角全てが鋭角(90°より小さい角)である三角形


テーマは｢ファニャーノ｣
　いきなり戸部ちゃんがネコ耳つけて｢ﾆｬｰﾉ｣とか言ってる。ネコポーズやってるけど目が笑ってない。戸部ちゃんいじりでマスタイムも戸部ちゃんがやることに。ものすごい嫌がっている。
　ファニャーノはイタリアの数学者で独学で数学を勉強したという謎のイタリア人数学者だそうな。
　義太夫が久々に登場も、病気持ちらしい。コマ大早口言葉。｢赤巻フィボナッチ、青巻フィボナッチ、黄巻フィボナッチ」東大生はできなかった。でもだからなんなんだろう。
　コマ大鉄棒を使って一回一回計測する。助っ人ケンタ、ビリヤード原理で入射角反射角でやる。しかし無意味。
　戸部ちゃんのマスタイム。ためが足りないし、ポーズも違う。全然だめ。

答え
各頂点から垂線を下ろした時の点DEFが最少。

解説
とりあえず適当にDEFをおく。図がないと説明し辛いが、まずDを固定して考える。
点Aを中心にAD長さの円をかく。次に点Eを中心にしてDEの長さの円をかいて、さっきのAで作った円と交差したところをD'とおく。次にFの点で同じ事をしてこちらはD"と置く。鏡映点(対称点)をとる。ということらしい。
これをやって、D"F→FE→ED'がDE→EF→FDと同じなので、一番短いのを探せばよい。とすると、D"とD'を一直線に引いたものが一番短いことになる。その時にD"D'と交差する点E'点F'が一番短いことになるが、この時のDの点が正しいかは別。

で、Dの位置を決めるにはどうするか。
△AD'D"を考える。AD=AD'=AD"より△AD'D"は二等辺三角形。
また、二等辺三角形△ADD'を考えた時、点Eは必ず線分AC上にあり、かつ点Eは点Dと点D'から同じ距離離れている。つまり、線分AC上の点は必ず点Dと点D'までの距離が等しいので、線分ACは∠DAD'を半分にしている線であることがわかる。これは二等辺三角形ADD"でも同じ事が言える。
つまり△ADD"では∠D"AB=∠BAD、
△ADD'では∠DAC=∠CAD'である。
よって、∠D"AD'=(∠D"AB+∠BAD)+(∠DAC+∠CAD')
∠BAC=∠BAD+∠DACであるので、
∠DAD'+∠DAD"=∠BAC*2=∠D"AD'
となる。

∠D'AD"は∠BACの2倍の角度であり、そして、この△AD'D"の点Aから辺D'D"に向かって垂線を下ろし、交点をPとすると、∠D'AD"は等分されて、直角三角形PAD'ができる。(ちなみにDがどの点にあろうと、この△AD'D"の性質は変わらない)
ということは
D'D"=2*AD'sin∠A　となる。AD=AD'=AD"であるから、
D'D"=2*ADsin∠A　である。
よって、D'D"(3辺)の長さを最少にするには、ADの長さを最少にすればよい。
ADを最少にするには、辺BCに向かって垂線を引けばよい。となる。

これを点B,Cでも同様に行えばいいので、各頂点から垂線を下ろした点をDEFとすれば、△DEFの3辺の長さが最少になる。


ファニャーノは｢三角形の幾何学の父｣と呼ばれるような業績を残しているそうだが、記録があまり残っていないらしい。出生やら名前やらがたくさんあってはっきりしていない。中に貴族のものがあるが、それかも？
2,3,4次方程式について、ニコラ・ベルヌーイ一世(ｼﾗﾈ)と数学理論で争ったと。
ロンドン王立協会会員。ベルリン科学アカデミー会員。パリ科学アカデミー会員直前に死亡。
テレビを見ている人教えて。


　きれいだろうと思って2等分した形を真っ先に思ったがどうも違うらしい。あと残るのは垂線くらいだが、それをどう証明すればいいのかがよくわからなかった。でも今回は少し長いが解説がきれいでなるほどと思えた。でもファニャーノがどう関係しているのかはいまいち分からない。言ってたかもしれないけど覚えてない。