解の公式と三平方の定理はまぁできるようになった。
(-1)^2もわかるようになった。
線引きとコンパスだけで正五角形をつくるやりかたも、多分身に付いた。

まず正五角形の対角線が黄金比になることを証明する。
対角線でできる大きい三角形とその横にできる中くらいの三角形が相似であることを証明。
円周角の定理を使えば比較的楽ではあるが、それをしなくとも内角108度の二等辺三角形の残りの二角は36度。これだけでも相似を証明できる。
正五角形の辺を1とすれば、一方は底辺。一方は斜辺が1なので、その二つの三角形の辺の比で、辺の長さに関する二次方程式ができる。それを解けば正五角形の対角線の長さ、(1＋√5)/2　が出てくる。

製図的には√5を作ればいいので、底辺1。高さ2の直角を作れればいい。
線を引く。→その長さを1として、線分の端からコンパスで円を描いて線分を延長して長さ2にする。→コンパスで長さ2をとって、両端から円を描く→円の交点から線分まで線を引く→その交点からコンパスで長さ2の線を引く。→対角線で√5ができる。→√5を半分にした距離と1を半分にした距離を足す。→最初の線の両端から(1＋√5)/2の長さでコンパスを使い円の交点が正五角形の頂点になる。→残りは今描いた円と長さ1の円との交点を結べば正五角形。


これから派生して、円周角は何故中心角の半分なのか考え出したら全然わからんくなった。
直径を通る場合はわかる。直角三角形になる理由もわかる。
円の中心を含んだ三角形を作る場合もわかる。3つの三角形ができて、その角度と中心角の関係も導き出せた。基本半径を使うので二等辺三角形が肝。
しかし、中心を外れた時の円周角をどう証明すればいいかピンとこなかった。結構悩んだ。グーグルに頼りたい欲を抑えるのがつらいくらいに。
それでもなんとか気づけた。直径を通る場合と、中心を含んだ三角形を作ることで、角度が同じであることが証明できるんだな。もっとスマートな証明もあるかもしれないが。ただ、逆向きの円周角の場合をどう言葉で定義付けをすればいいかはちょっと惑う。
とりあえずこれが自然に描けるくらい身につけよう。
言葉にしようとすると難しいけど、円周の部分が「弧」で、円周上の2点の間に引いた直線が「弦」。これもきちんと理解しないとな。


次はどれだったら自力で証明できそうかな。基本的にどっかでやった問題とか知った問題の焼き直しだからな。

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