テーマペアノ曲線
・平面(2次元)を隈なく覆い尽くすような曲線

問題
B
┏┳━┳┓
┃┣━┫┃
┣┻┳┻┫
┣┳┻┳┫
┃┣━┫┃
┣┻┳┻┫
┣┳┻┳┫
┃┣━┫┃
┗┻━┻┛A

図のような形をした道路があります
AからBまでの最短距離は12mあります
では、AからBまでの最長距離は何mでしょうか？
ただし同じ道は一度しか通れません
(畳をイメージ。だから縦と横は2:1になっている。)


　ジュンブライド→どんな結婚式がいい？→出来ちゃった婚→ハデ婚→１コン、２(ry　　いつにも増してダメ過ぎるw
　一筆書き？とも思ったがどうやればいいかわからんままｵﾜﾀ。解説を見ればああなるほどとはなるのだが、ちょっと微妙にしっくりこない問題だった。他の場合にも扱えるような普遍的な何かが見えなかったせいかもしれない。答えるほうも証明まではいけてなかったし、今回の中村ｾﾝｾ問題ちょっと残念。よく知らんがペアノさんが偉い事だけはよくわかった。
　マスが映画のカットだか秒数を素数でやっているというのはちょっと興味深かった。この間の新聞で小津安二郎監督は平均して1カットの秒数が決まっていたとかで、それがリズムになっているのではとか何とかの記事があった。テンポやリズムをそういうところで表していたりするのか。
　あと、戸部ちゃんが東大生と本気で水着談義していたのも笑った。ドット？市松模様みたいなものってことか？


解説
　一筆書きを考える。
『奇点』
集まる線の数が奇数の点。奇点の数が0か2の時、一筆書きができる。
　↓
一本減らす→三叉路の減らす道は通らない。

・通らない道の選び方
道をいくつか消して一筆書きにする
　　　　↓
・四隅以外は全て奇点→一本分岐を取る(三叉路)
・A,Bは出発点・終点→一本だけでるようにする。
　　　　↓
両端がA or B or 三叉路の短い方を選んで消す

例)A┏×┳1　距離1の方をつぶす
　　┃　↑　　│
　　┃　点Ｃ　│
　　２　　　　↓
　点Cの奇数点が解消される
→短い方の道を通らないように消していく。(また、Cの通る道は残して、その隣の点の線についても消していく)

このガイドラインで導き出せるそうだ。そしてその証明。最長経路を計算で確認。

・三叉路(奇点)の数
(分岐点の合計)　(四隅)　(重複分)
　　(4*16　　　-　4)　÷　　2　　=　30
4→畳一枚の頂点の数
16→畳の枚数
(-4)→四隅は奇点じゃない。
/2→必ず頂点は他の畳と重なっているのでその重複分

・通らない道の数
(奇点の数)　(AとB)　(道の重複分)
(　30　　　+　2　）÷　　2　　　　=16

1)道(畳の縁)の合計　→畳の辺の長さの合計
6*16=96
2)外周(最短)
12*2=24
3)外周以外
(96-24)÷2=36　;2→重複分
4)総距離
24+36=60
5)最長経路
60-16=44　;16→通らない道の数

で求まる。
↓こんな感じ
B
┓┏━━┓
┃┗━┓┃
┗━━┛┃
┏━━┓┃
┃┏━┛┃
┃┗━━┛
┃┏━━┓
┃┗━┓┃
┗━━┛┗A


　こういう曲線はペアノ曲線だけでなく色々あるそうな。こういう平面を埋める曲線を平面充填曲線と言うそうな。
　ペアノは大数学者ではないけれども、数学を美しいものにしたという意味で偉業を残しているそうな。この曲線によって今までなんとなくだった次元という概念が、きちんと考え直されるようになったとか。
　他にもペアノの公理という自然数の特徴づけをきちんと行ったりしたそうだ。エッフェル塔を造った人の中で、エッフェルが偉いか職人が偉いかの議論でいえば、ペアノは職人の方だったが職人もかかせないと。

　今回は数学史的な要素が濃かったかな。途中から見出した俺としてはもっと初期のピタゴラスとかもやっただろうからそういったのも見たいんだが、DVDみたいのはでないんかな。