テーマは傾き
問題
傾いた平面上で最も急な勾配が1/3であるという。
南北方向の勾配を測ったところ1/5であった。
東西方向の勾配はどれだけでしょうか。
問題文からどう考えればいいかすらちんぷんかんぷんで、さっぱりイメージができずコマ大を見てようやっと意味がわかった。でも具体的にはさっぱりで、解説をきちんと見ないと全然だった。でもこういう問題は面白い。解き方がわかれば簡単というのがいい。わかった気になれるし。解説もわかるし。1983年の東大入試問題だと。しかも文系。そういえばOPの紹介やコマ大コーナーなくなってるな。
解き方とか
直角三角形の時 傾き=高さ÷底辺 →つまりtanのこと。
傾き 1/3→約20度 世界で一番急勾配な坂(ニュージーランド)
傾き 1/5→約12度 のぞき坂。
日本一の坂は長崎にあるそうだ。18度
スキージャンプ台は35度。もっとあるように見えるけどそれくらいでもあのスピードが出るわけか。
まず、(x,y,z)軸でx=5,z=1,y=？で3次元の図を描く。原点0。その時にできる底辺の三角形を考える。
Zから辺XYに引いた垂線との交点をHと置く。あとで証明が出てくるが、OH⊥XY。これにより、△HXOのOH=3(傾きが3だから)と斜線のOX=5(傾きが5)から三平方定理から
5^2=3^2+XH^2 : XH=4 だとわかる。
XY上の点で一番Zに距離の近い点が一番傾きが急。だから垂線になる。この場合垂直でないと90度からずれた角度の分だけ距離が長くなる。
また△HXOと△HOYは相似の関係。これは△OXYと関連して証明できる。
△HX0と△OXYは直角と∠HXOと∠OXYが同じなので相似。
△HOYと△OXYは直角と∠HYOと∠OYXが同じなので相似。
よって△HXOと△HOYも相似。これにより
OX:XH=OY:OH つまり5:4=?:3となる。展開して
15=4? →?=15/4
よってy方向に15/4いってz方向に1下がるから、逆数にして
傾き=4/15 となる。
途中のOH⊥XYは三垂線の定理というのを使って証明する。
△OZHだけを取り出してみる。平面α(x,yの平面)に対してZOは垂直だから、
ZO⊥α
直線l(XY)に対してZHは垂直だから、ZH⊥l
ZO⊥α、ZH⊥l ならば OH⊥l である。
ということらしい。厳密には知らんが。
でこの平面の方程式が、ax+by+cz+d=0
(x,y,z)に(5,0,0)(0,15/4,0)(0,0,1)を代入して、
→1/5x+4/15y+z-1=0
-1がどっから出るかとかよくわからんが。こういうことらしい。
で、昔は一尺いって三寸上がる、「三寸勾配」というのがあったそうな。傾きは1/3だったそうな。えらい急勾配だということか。
